2004年4月全國(guó)高等教育自學(xué)考試復(fù)變函數(shù)與積分變換試題

　　一、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）

　　在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

　　1.復(fù)數(shù)方程z=2+ （ 為實(shí)參數(shù)，0≤ <2 ）所表示的曲線為（）

　　A.直線 B.圓周

　　C.橢圓 D.拋物線

　　2.已知 ，則argz=（）

　　A. B.

　　C. D.

　　3.Re（cosi）= （）

　　A. B.

　　C. D.

　　4.設(shè)f（z）=（1-z）e-z，則 =（）

　　A.（1-z）e-z B.（z-1）e-z

　　C.（2-z）e-z D.（z-2）e-z

　　5.設(shè)ez= ，則Imz為（）

　　A.ln2 B.

　　C.2k ，k= … D. +2k ，k=0，…

　　6.設(shè)C為正向圓周|z|=1，則 （）

　　A. B.2

　　C.0 D.1

　　7.設(shè)C為正向圓周|z-1|=1，則積分 等于（）

　　A.5 B.7

　　C.10 D.20

　　8.設(shè)C為正向圓周| |=1.則當(dāng)|z|>1時(shí)，f（z）= （）

　　A.0 B.1

　　C. D.

　　9.設(shè)f（z）= 的羅朗級(jí)數(shù)展開式為 ，則它的收斂圓環(huán)域?yàn)椋ǎ?/P>

　　A.0<|z|<2或2<|z|<+ B.0<|z-2|<2或2<|z-2|<+

　　C.0<|z-2|<+ D.0<|z-2|<2

　　10.冪級(jí)數(shù) 在點(diǎn)z= 處（）

　　A.發(fā)散 B.條件收斂

　　C.絕對(duì)收斂 D.不絕對(duì)收斂

　　11.z=0是 的（）

　　A.解析點(diǎn) B.本性奇點(diǎn)

　　C.一階極點(diǎn) D.二階極點(diǎn)

　　12.設(shè)z=x+iy，則w= 將圓周x2+y2=2映射為（）

　　A.通過w=0的直線 B.圓周|w|=

　　C.圓周|w-2|=2 D.圓周|w|=2

　　13.Res[ ]=（）

　　A.2i B.-2i

　　C.-1 D.1

　　14.z2sin 在z=0點(diǎn)的留數(shù)為（）

　　A.-1 B.

　　C. D.0

　　15.w=iz將z平面上的第一象限保角映射為（）

　　A.第一象限 B.第二象限

　　C.第三象限 D.第四象限

　　第二部分非選擇題（共70分）

　　三、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

　　不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。

　　16.在復(fù)數(shù)域內(nèi)，方程cosz=0的全部解為。

　　17.設(shè)C為自點(diǎn)z1=-i至點(diǎn)z2=0的直線段，則。

　　18.設(shè)z=x+iy，Re（iez）=。

　　19.若C為正向圓周|z-3|=2，則。

　　20.f（z）在單連通區(qū)域D內(nèi)解析， 是f（z）的一個(gè)原函數(shù)，C為D內(nèi)一條正向閉曲線，則。

　　三、計(jì)算題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

　　21.求出復(fù)數(shù)z= 的模和輻角。

　　22.設(shè)z=x+iy，滿足Re（z2+3）=4，求x與y的關(guān)系式。

　　23.設(shè)u=ax3-3xy2，v=3x2y-y3，z=x+iy.問當(dāng)a取何值時(shí)，v是u的共軛調(diào)和函數(shù)，并求出以u(píng)為實(shí)部的解析函數(shù)f（z）。

　　24.求積分I= 的值，其中C為從-2到2的上半圓周。

　　25.設(shè)C為正向圓周|z|=R（R 1），計(jì)算積分I= .

　　26.求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑。

　　27.將函數(shù)f（z）= 在區(qū)域2<|z-i|<+ 內(nèi)展開成為羅朗級(jí)數(shù)。

　　28.討論f（z）= 的孤立奇點(diǎn)。 若為極點(diǎn)，求極點(diǎn)的階數(shù)。

　　四、綜合題（下列3個(gè)小題中，29題必做，30、31題中只選做一題。每小題10分，共20分）

　　29.利用留數(shù)計(jì)算積分I= .

　　30.求下列保角映射：

　?。?）把Z平面上的區(qū)域D：|z|<2，|z+1|>1映射成W1平面上的區(qū)域D1：0<Rew1< ；

　　（2）把W1平面上的區(qū)域D1映射成W2平面的區(qū)域D2：0<Imw2< ；

　　（3）把W2平面上的區(qū)域D2映射成W平面的上半平面：Imw>0；

　?。?）綜合以上三步求出把Z平面上的區(qū)域D映射成W平面的上半平面的保角映射。

　　31.（1）求sint的拉氏變換[sint]；

　?。?）設(shè)F（p）=[y（t）]，若函數(shù)y（t）可導(dǎo)，而且y（0）=0，求[ ]；

　?。?）利用拉氏變換解常微分方程的初值問題